Математика

Последнее изменение

В помощь учителю математики

1. В корзине лежат 5 яблок. Как разделить эти яблоки между пятью девочками, чтобы каждая девочка получила по одному яблоку и чтобы одно яблоко осталось в кор-зине?
2. Скажите, сколько в комнате кошек, если в каждом из четырех углов комнаты сидит по одной кошке, против каж-дой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?
3. Небольшой воинский отряд подошел к реке, через кото-рую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков - не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом? Решайте эту задачу "в уме" или практически,- исполь-зуя шашки, спички, или что-либо а этом роде и передви-гая их по столу через воображаемую реку.
4. Сколько мне лет. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1см, затем возвращает в прежнее поло-жение, опять опускает на 1 см и опять возвращает в прежнее положение; 10 раз он так опускает и 10 раз поднимает синий карандаш (20 движений). Если допустить, что за это время краска не высыхает и не истощается, то на сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после двадцатого движения?

Положите на стол три кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, а в другую - 7, в третью - 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек; Это возможно, так как общее число спичек - 24 - делится на 3 без остатка; при этом требуется соблюдать такое правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то и добавить к ней можно только 6, беря их из одной кучки, если в кучке 4 спички, то и добавить к ней можно только 4. Задача решается в 3 хода.

Двенадцать девочек стали в круг и начали играть в мяч. Каждая девочка бросала мяч своей соседке слева. Когда мяч обходил весь круг, его перебрасывали в противоположном направлении. Через некоторое время одна девочка сказала:
- Будем лучше бросать мяч через одного человека.
- Но так как нас двенадцать, то половина девочек не будет участвовать в игре,- живо возразила Наташа.
- Тогда будем бросать мяч через двух третьей!
- Еще хуже: играть будут только четыре... Если хотите, чтобы все девочки играли, надо бросать мяч через четырех пятой. Другой комбинации нет.
- А если бросать мяч через шесть человек?
- Это будет та же самая комбинация, только мяч пойдет в противоположном направлении.
- А если играть через десять, чтобы каждая одиннадцатая ловила мяч? - Допытывались девочки.
- Таким способом мы уже играли...
Девочки стали рисовать схемы всех предлагавшихся способов игры и очень скоро убедились в том, что Наташа была права. Только одна схема игры (кроме первоначаль-ной) охватывала всех участниц без исключения. Вот если бы игравших девочек было тринадцать, мяч можно было бы бросать и через одну, и через двух и через трех), и через четырех и всякий раз игра охватывала бы всех участниц. Выясните, можно ли при тринадцати играющих бросать мяч через пять человек? А можно ли бросать мяч через шесть человек при тринадцати играющих? Додумайте и для наглядности нарисуйте соответствующие схемы.

Скорый поезд шел из Москвы в Ленинград без остано-вок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд тоже без остановок шел ему навстречу из Ленинграда в Москву со скоростью 40 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?

Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который под-нимает воду за каждый час на 15 см. Через сколько времени покроется водой третья сту-пенька веревочной лесенки?

1. Разделить круглый циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.
2. Можно ли круглый циферблат разделить на 6 частей так, чтобы в каждой части находились два числа, причем суммы этих двух чисел в каждой из шести частей были бы равны между собой?

В музее я видел старинные часы с римскими цифрами на циферблате, причем вместо знакомой нам записи числа четыре (IV) стояли четыре палочки (IIII). Трещины, образо-вавшиеся на циферблате, делили его на 4 части. Суммы чисел в каждой части оказались неодинаковыми: в одной - 21, в другой - 20, в третьей - 20, в четвертой - 17. Я заметил, что при несколько ином расположении трещин сумма чисел в каждой из четырех частей циферблата равнялась бы 20. При новом расположении трещин они мо-гут и не проходить через центр циферблата. Перерисуйте циферблат в свою тетрадь и найдите это новое расположе-ние трещин.

Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика.
- Я болен,- ответил часовщик,- и не смогу пойти. Но если починка несложная, я пришлю к вам своего ученика. Оказалось, что нужно заменить поломанные стрелки. - С этим мой ученик справится,- сказал мастер.
- Он проверит механизм часов и подберет стрелки.
Ученик отнесся к работе очень внимательно и тщательно отрегулировал механизм часов, но подходящих стрелок у него не нашлось. Тогда, с согласия владельца часов, юноша решил припаять отломившиеся кусочки стрелок и сделал это старательно.
Закончив работу, он надел восстановленные стрелки и поставил их по своим часам: большую стрелку на цифру 12, а маленькую - на цифру 6 (было ровно 6 часов вечера). Но вскоре после того, как ученик вернулся в мастерскую, чтобы сообщить мастеру, что работа выполнена, зазвонил телефон. Мальчик взял трубку и услышал сердитый голос заказчика:
- Вы плохо исправили часы, они неправильно показывают время.
Ученик мастера, удивленный этим сообщением, поспешил к заказчику. Когда он пришел, отремонтированные им часы показывали начало девятого. Ученик вынул свои карманные часы и протянул их разгневанному хозяину дома; - Сверьте, пожалуйста. Ваши часы ни на секунду не отстают. Ошеломленный заказчик вынужден был согласиться, что его часы в данный момент действительно показывай: правильное время. Но на другой день утром заказчик опять позвонил и сказал, что стрелки часов, очевидно, сошли с ума и разгуливают по циферблату, как им вздумается. Ученик мастер побежал к заказчику. Часы показывали начало восьмого. Сверив время по своим часам, он не на шутку рассердился;
- Вы смеетесь надо мной! Ваши часы показывав точное время! Часы, действительно, показывали точное время. Возмущенный ученик мастера хотел тут же уйти, но хозяин удержал его. А через несколько минут они нашли причину столь невероятных происшествий.
Не догадались ли и вы, в чем тут дело?

Перед вами два столбца чисел:

123456789 12345678 1234567 123456 12345 1234 123 12 1

1 21 321 4321 54321 654321 7654321 87654321 987654321

Всмотритесь: числа второго столбца образованы из тех же цифр, что и числа первого столбца, но с противоположным порядком их расположения. (Для усиления наглядности нули в левом столбце опущены.) Какой столбец при сложении даст больший результат Сначала сравните эти суммы "на глаз", то есть, еще не производя сложения, попытайтесь определить, должны ли они быть одинаковыми или одна должна быть больше другой, а затем проверьте сложением,

Первый фокус:
Восемь шестизначных слагаемых

328 645
491 221
816 304
117 586
671 355
508 779
183 696
882 414


подобраны так, что, разумно их группируя, можно в уму найти сумму за 8 секунд. Выдержите вы такую скорость? Покажите ученикам два фокуса, которые в шуту тоже можете назвать "скоростным сложением". Первый фокус. Скажите:
- Не показывая мне, напишите столбиком столько многозначных чисел, сколько вам хочется. Затем я подойду, очень быстро напишу еще столько же чисел и моментально все их сложу.
Допустим, вам написали:

7621
3057
2794
4518
А вы припишите такие числа, каждое из которых дополняет до 9999 одно за другим все написанные числа. Такими числами будут:
5481
7205
6942
2378
Действительно:

4518+5481=9999
2794+7205=9999
3057+6942=9999
7621+2378=9999

Теперь нетрудно сообразить, как быстро подсчитать всю сумму:

7621
3057
2794
4518
5481
7205
6942
2378
Надо 9999 взять 4 раза, то есть 9999х4, а такое умножение быстро производится в уме. Умножаем 10000 на 4 и вычитаем лишние 4 единицы. Получится:
10000 х 4 - 4= 40000 - 4= 39996.

Вот и весь секрет фокуса! Второй фокус:
Напишите одно под другим какие будь 2 числа любой величины. Я припишу третье и мгновенно слева направо напишу сумму всех трех чисел.
Положим, вам написали:
72603294
51273081
Припишу, например, такое число: 48 726 918 и сразу называем сумму.
Какое число следует приписывать и как в этом случае быстро находить сумму? Сообразите сами!

Задача 1. Двумя цифрами написать наименьшее целое положительное число.
Задача 2. Число 37 записано при помощи пяти троек:
37=33+3+3/3
Найдите другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек.
Задача 3. Написать число 100 шестью одинаковыми цифрами. Возможно несколько решений.
Попробуйте найти общий вид ответа. Для этого восполь-зуйтесь такой записью:
а - цифра, 10*a+a - двузначное число, состоящее из двух одинаковых цифр а (например при а=5 имеем: 10*а+а=10*5+5=55), 100а+10a+a трехзначное число, состоящее из трех одинаковых цифр а (например, при а=5 имеем: 100a+10a+а = 100*5 + 10*5+5=555). Ответ в общем виде должен представлять собою формулу, состоящую из комбинации чисел 100a + 10a+a, 10а+a и a, и давать число 100 при подстановке вместо а любой цифры.
Задача 4. Написать 55, употребляя только пять четверок.
Задача 5. Написать 20 при помощи четырех девяток.
Задача 6. Из семи спичек выложено число 1/7.
Превратить эту дробь в число 1/3, не прибавляя и убавляя спичек.
Задача 7. Сумма двух чисел, образованных из цифр 1, 3, 5, 7 и 9, равна сумме двух чисел, образованных из цифр 2, 4, 6 и 8. Найдите эти числа, употребляя каждую цифру по одному разу.
Замечание: Применять неправильные дроби при этом не разрешается.
Задача 8. Какие 2 числа при умно-жении одного на другое и при вычитании одного из другого дают один и тот же результат?
Задача 9. Употребляя по одному разу каждую и цифр О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, составить такие смешанны дроби, сумма которых составила бы 100. (Возможно несколько решений.)

Задача, так сказать, бытовая. Жилица — назовем ее для удобства Тройкиной — положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина — 5 полен, жилец Бестопливный, у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил  сосед-кам 8 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?

Показать решение

Из Ленинграда вылетел прямо на север вертолет. Пролетев в северном напровлении 500 км., он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км.., Вертолет сделал новый поворот - на юг и прошел в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км. опустился. Спрашивается: где расположено место спуска вертолета – к запада, к востоку, к северу или югу.

Показать решение

Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что вертолет летел по контуру квадрата: надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются ( см. рис); поэтому, пройдя 500 км. по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, вертолет отошел к востоку на большее ч и с л о градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате вертолет, закончив полет, оказался восточнее Ленинграда.
На сколько именно? Это можно рассчитать.

На рис. вы видите маршрут вертолета: ABСDE. Точка N — северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и DC. Вертолет пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500 км : 111 " 4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на широте 60°+4°,5==64°,5. Затем вертолет летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и прошел по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна примерно 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел вертолет на восток: 500 : 48" 10°,4. Далее вертолет летел в южном направлении, т. е. по меридиану CD и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по AD; 500 км этого пути явно короче расстояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10°,4. Но длина 1° на ширине 60° примерно равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5х10,4" 577 км. Мы видим, что вертолет не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, т. е. оказался над Ладожским озером и мог опуститься только на воду.